高中三年冲刺52种快速数学做题法！

2024-01-26 16:30|编辑: 方老师|阅读: 117

摘要

52种数学快速解题法，你学会了吗？

北京高考在线整理了高中三年需要学会的52种快速做数学题的方法，趁着寒假好好看看。

1 . 适用条件

[直线过焦点]，必有ecosA=（x-1）/（x+1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。

注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分（指的是焦点在所截线段上），用该公式;如果外分（焦点在所截线段延长线上），右边为（x+1）/（x-1），其他不变。

2 . 函数的周期性问题（记忆三个）

（1）若f（x）=-f（x+k），则T=2k;

（2）若f（x）=m/（x+k）（m不为0），则T=2k;

（3）若f（x）=f（x+k）+f（x-k），则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3 . 关于对称问题（无数人搞不懂的问题）总结如下

（1）若在R上（下同）满足：f（a+x）=f（b-x）恒成立，对称轴为x=（a+b）/2

（2）函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于x=（b-a）/2对称;

（3）若f（a+x）+f（a-x）=2b，则f（x）图像关于（a，b）中心对称

4 . 函数奇偶性

（1）对于属于R上的奇函数有f（0）=0;

（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项

（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空

5.数列爆强定律

（1）等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7（13和7为下角标）;

（2）等差数列中：S（n）、S（2n）-S（n）、S（3n）-S（2n）成等差

（3）等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立

（4）等比数列爆强公式：S（n+m）=S（m）+q²mS（n）可以迅速求q

6 . 数列的终极利器，特征根方程

首先介绍公式：对于an+1=pan+q（n+1为下角标，n为下角标），

a1已知，那么特征根x=q/（1-p），则数列通项公式为an=（a1-x）p²（n-1）+x，这是一阶特征根方程的运用。

二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造（两边同时加数）

7 . 函数详解补充

1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外

2、复合函数单调性：同增异减

3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。

它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8 . 常用数列bn=n×（2²n）求和Sn=（n-1）×（2²（n+1））+2记忆方法

前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2

9 . 适用于标准方程（焦点在x轴）爆强公式

k椭=-{（b²）xo｝/{（a²）yo｝k双={（b²）xo｝/{（a²）yo｝k抛=p/yo

注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技

已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0

若它们垂直：（充要条件）a1a2+b1b2=0;

若它们平行：（充要条件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1

（这个条件为了防止两直线重合）

注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!

11 . 经典中的经典

相信邻项相消大家都知道。

下面看隔项相消：

对于Sn=1/（1×3）+1/（2×4）+1/（3×5）+…+1/[n（n+2）]=1/2[1+1/2-1/（n+1）-1/（n+2）]

注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁!

12.爆强△面积公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=（m，n），向量BC=（p，q）

注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题

13 . 你知道吗?空间立体几何中：以下命题均错

（1）空间中不同三点确定一个平面

（2）垂直同一直线的两直线平行

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面

（5）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

（6）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥

14 . 一个小知识点

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15 . 求f（x）=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣（n为正整数）的最小值

答案为：当n为奇数，最小值为（n²-1）/4，在x=（n+1）/2时取到;

当n为偶数时，最小值为n²/4，在x=n/2或n/2+1时取到。

16 . √〔（a²+b²）〕/2≥（a+b）/2≥√ab≥2ab/（a+b）（a、b为正数，是统一定义域）

17 . 椭圆中焦点三角形面积公式

S=b²tan（A/2）在双曲线中：S=b²/tan（A/2）

说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18 . 爆强定理

空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]

（1）A为线线夹角

（2）A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）

（3）A为面面夹角注：以上角范围均为[0，派/2]。

19 . 爆强公式

1²+2²+3²+…+n²=1/6（n）（n+1）（2n+1）;1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4（n²）（n+1）²

20 . 爆强切线方程记忆方法

写成对称形式，换一个x，换一个y

举例说明：对于y²=2px可以写成y×y=px+px

再把（xo，yo）带入其中一个得：y×yo=pxo+px

21 . 爆强定理

（a+b+c）²n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2在下，2在上

22 . 转化思想

切线长l=√（d²-r²）d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

23 . 对于y²=2px

过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。

爆强定理的证明：对于y²=2px，设过焦点的弦倾斜角为A

那么弦长可表示为2p/〔（sinA）²〕，所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）²]

所以求和再据三角知识可知。

（题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD）

24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路

举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln（n+1）

把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln（n+1），则bn=ln（n+1）-lnn，

那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。

an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。

注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

26 . 爆强简洁公式

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。

记忆方法：在哪投影除以哪个的模

27 . 说明一个易错点

若f（x+a）[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f（x+a）=-f（-x+a）〔等式右边不是-f（-x-a）〕

同理如果f（x+a）为偶函数，可得f（x+a）=f（-x+a）牢记

28 . 离心率爆强公式

e=sinA/（sinM+sinN）

注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N

29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。

比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

积化和差

sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

31 . 爆强定理

直观图的面积是原图的√2/4倍。

32 . 三角形垂心爆强定理

（1）向量OH=向量OA+向量OB+向量OC（O为三角形外心，H为垂心）

（2）若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

33 . 维维安尼定理

正三角形内（或边界上）任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。

34 . 爆强思路

如果出现两根之积x1x2=m，两根之和x1+x2=n

我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数

再利用△大于等于0，可以得到m、n范围。

35 . 常用结论

过（2p，0）的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。

O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度

36 . 爆强公式

ln（x+1）≤x（x>-1）该式能有效解决不等式的证明问题。

举例说明：ln（1/（2²）+1）+ln（1/（3²）+1）+…+ln（1/（n²）+1）<1（n≥2）

证明如下：令x=1/（n²），根据ln（x+1）≤x有左右累和右边

再放缩得：左和<1-1/n<1证毕!

37 . 函数y=（sinx）/x是偶函数

在（0，派）上它单调递减，（-派，0）上单调递增。

利用上述性质可以比较大小。

38 . 函数

y=（lnx）/x在（0，e）上单调递增，在（e，+无穷）上单调递减。

另外y=x²（1/x）与该函数的单调性一致。

39 . 几个数学易错点

（1）f`（x）<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件

（2）研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称

（3）不等式的运用过程中，千万要考虑"="号是否取到

（4）研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项!

40 . 提高计算能力五步曲

（1）扔掉计算器

（2）仔细审题（提倡看题慢，解题快），要知道没有看清楚题目，你算多少都没用

（3）熟记常用数据，掌握一些速算技

（4）加强心算、估算能力

（5）检验

41 . 一个美妙的公式

已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，

则向量AO×向量BC（即数量积）=（1/2）[b²-a²]

证明：过O作BC垂线，转化到已知边上

42 . 函数

①函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大（减小）而增大（减小），但有些意思可能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续（分段函数另当别论）这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续.还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应.这个可以用来解一些方程.至于例子不举了

②函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f（x）为R上的函数，对任意x∈R

（1）f（a±x）=f（b±x）T=（b-a）（加绝对值，下同）

（2）f（a±x）=-f（b±x）T=2（b-a）

（3）f（x-a）+f（x+a）=f（x）T=6a

（4）设T≠0，有f（x+T）=M[f（x）]其中M（x）满足M[M（x）]=x,且M（x）≠x则函数的周期为2